Quay một đường cong xung quanh một trục cho ra mặt tròn xoay.

Nếu một đường cong xác định bằng phương trình tham số x(t), y(t), với t xác định trên đoạn [a,b], và trục tròn xoay là trục y, thì diện tích của mặt Ay xác định bằng tích phân

A y = 2 π ∫ a b x ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t , {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}

cho thấy x(t) luôn không âm giữa hai điểm a and b. Công thức này có dạng tương đương với định lý trọng tâm Pappus (Pappus's centroid theorem).[3] Đại lượng

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}}

xuất phát từ định lý Pythagore và đại diện cho một đoạn nhỏ của cung của đường cong, giống như trong công thức độ dài cung. Đại lượng 2πx(t) là quỹ đạo của trọng tâm của đoạn nhỏ này, như đòi hỏi bởi định lý Pappus.

Tương tự, khi trục quay là trục x và cho thấy hàm y(t) luôn không âm, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng[4]

A x = 2 π ∫ a b y ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}

Nếu đường cong được miêu tả bằng hàm y = f(x), a ≤ x ≤ b, thì tích phân trở thành

A x = 2 π ∫ a b y 1 + ( d y d x ) 2 d x = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}

đối với trục xoay là trục x và

A y = 2 π ∫ a b x 1 + ( d x d y ) 2 d y {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy}

đối với trục xoay là trục y (sử dụng a ≤ y ≤ b). Các công thức này được rút ra từ công thức ở trên.

Ví dụ, mặt cầu bán kính đơn vị có đường sinh là đường cong xác định bởi tham số y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), khi t thuộc đoạn [0,π]. Diện tích bề mặt của nó bằng

A = 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( t ) ( cos ⁡ ( t ) ) 2 + ( sin ⁡ ( t ) ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( t ) d t = 4 π . {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}

Đối với trường hợp mặt cầu bán kính r, phương trình đường cong y(x) = √r2 − x2 quay xung quanh trục x

A = 2 π ∫ − r r r 2 − x 2 1 + x 2 r 2 − x 2 d x = 2 π r ∫ − r r r 2 − x 2 1 r 2 − x 2 d x = 2 π r ∫ − r r d x = 4 π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}

Mặt tròn xoay cực tiểu là mặt tròn xoay của đường cong đi qua hai điểm cho trước mà diện tích bề mặt của nó là cực tiểu.[5] Một vấn đề cơ bản trong phép tính biến phân đó là tìm đường cong giữa hai điểm cho trước mà tạo ra mặt tròn xoay cực tiểu.[5]

Chỉ tồn tại có hai mặt tròn xoay cực tiểu đó là mặt phẳng và mặt catinoit (catenoid, mặt có đường sinh là đường dây xích (catenary)).[6]